小学数学思维训练有哪些题型？植树、和差、鸡兔同笼等 29 类思维题在家怎么教

孩子带回来一道题：「一条路长 20 米，每隔 5 米种一棵树，两端都种，一共种几棵？」孩子想都不想，20÷5=4，4 棵。您拿过来一看，觉得哪里不对，又说不清。翻到答案，5 棵。再往后翻，还有「两端都不种」「圆形池塘」，换一下条件，答案又变了。

很多家长是这样第一次遇到植树问题的。这类题和计算题不同：孩子明明会除法，就是做不对。大家把它们叫作思维题、趣味数学，也有人叫小学奥数题。这些题真正练的是把文字变成一张图，再从图里看出关系。背公式能应付一时，题目稍微一变就不灵了。

这篇文章讲火柴棒、植树问题、和差问题、年龄问题、倒推计算各练什么，家长在家怎么教，不用先学会全部公式，最后详细介绍 Dino Kids「思维数学」里的「挑战」：29 个单元各有什么题，一个单元怎样带着孩子从看讲解走到自己做。三到六岁、还在认规律和分类的孩子，请看幼儿思维数学那篇。

小学数学思维训练到底在练什么

教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》写到小学阶段的核心素养时，有三个词和这类题关系最近：

• 几何直观：运用图表描述和分析问题的意识与习惯。线段图就是这个。
• 推理意识：知道可以从一些事实出发，依据规则推出结论，并且能对自己和别人的解题过程给出合理解释。
• 模型意识：知道一个数学模型可以用来解决一类问题。今天种树，明天锯木头、爬楼梯，其实是一道题。

把这三件事翻译成家长的话：孩子会动手画，会说清楚为什么，会说「这和上次那道题一样」。

这些题也有不值得做的时候。孩子还没把加减乘除算熟，一道题要算十分钟，注意力全花在计算上，这时候先补计算。题目超出太多、孩子每道都靠家长讲，也是白费，退回简单一点的数再来。

植树问题：数的是间隔，不是树

植树问题是最好的入门题，因为它只有一个关键：树和间隔不是一回事。

伸出一只手：五根手指，中间四个空。这就是全部的道理。回到开头那道题，让孩子在纸上画一条线，每 5 米点一下：

• 两端都种：棵数 = 间隔数 + 1。20 米有 4 段，种 5 棵。
• 只种一端：棵数 = 间隔数。种 4 棵。
• 两端都不种：棵数 = 间隔数 − 1。种 3 棵。
• 围成一圈（圆形池塘）：没有两端，棵数 = 间隔数。

三个公式不用急着背，让孩子先用小的数画几次，自己发现「多一棵」「少一棵」。发现了以后，这个模型能用到很多地方：

• 锯木头：锯成 4 段要锯 3 次。
• 爬楼梯：从 1 楼到 4 楼，爬的是 3 段楼梯。
• 路灯、站队、挂彩旗：都是点和间隔。

还有一个常见的错：「7 棵树，相邻两棵相距 3 米，第一棵到最后一棵多少米？」孩子会写 7×3。让他画出来，他自己就会数出 6 段。

和差问题：线段图的第一课

「哥哥和弟弟一共有 20 张卡片，哥哥比弟弟多 6 张，两人各有多少张？」

和差问题是知道两个数的和与差，求这两个数。公式很短：小数 =（和 − 差）÷ 2。但光背公式，孩子不知道为什么要减，也不知道为什么要除以 2。

用线段图走一遍：

1. 画两条线段，上面长、下面短。长出来的部分用虚线画，这就是差，6 张。
2. 把两条线段括起来，写上和，20 张。
3. 把多出来的 6 张去掉，两条就一样长了，总数变成 20 − 6 = 14。
4. 两条一样长，一半就是弟弟的：14 ÷ 2 = 7。哥哥是 7 + 6 = 13。
5. 验算：7 + 13 = 20，13 − 7 = 6。

新加坡小学数学里著名的「模型法」，用的就是这样的长条图。Ng 和 Lee（2009）的研究说，它让还没学字母代数、能力较强的孩子也能表示和解答代数应用题；孩子做错时，可能只是图里有一处信息放错了，整张图并没有全错。这对家长是个提醒：孩子画错了，不用整张否定，指着图一起找那一处就行。

年龄问题：有一样东西永远不变

「姐姐 9 岁，弟弟 5 岁。姐姐 20 岁时，弟弟多大？」

年龄问题抓住一句话就够了：两个人的年龄差永远不变。过一年，两个人都长一岁。还是画图：两条线段，长的是姐姐，长出来 4 岁；过几年，两条一起变长，长出来的那一段不变。所以姐姐 20 岁时，弟弟 16 岁。

这类题的价值在于让孩子第一次意识到：很多东西都在变的时候，要找那个不变的。题目再往后走，「妈妈的年龄是孩子的几倍」「几年前两人年龄的和是多少」，都从这句话开始。

倒推计算：从结果往回走

「小明花掉一半的钱，又花了 3 元，还剩 5 元。他原来有多少元？」

孩子容易从头开始试。更好的办法是倒着走：把过程写成一台机器，然后从结果开始，每一步都反过来，加变减，乘变除，顺序也要反过来。

• 最后还剩 5 元，花 3 元之前是 5 + 3 = 8 元。
• 花掉一半之前是 8 × 2 = 16 元。
• 验算：16 元花掉一半剩 8 元，再花 3 元，剩 5 元。

倒推计算在孩子后面学方程时还会用到。这里最容易错的就是顺序，所以每一步都让孩子说出来：「最后一步是什么？」

火柴棒：换个角度看同一道题

移动火柴棒算式是很多孩子最喜欢的思维题。比如用火柴摆出：

6 − 2 = 8

只移动一根火柴，让算式成立。孩子盯着这道题看，第一反应常常是改运算符号或者改 2。其实答案在另外的地方：把 8 的一根火柴拿走，它就变成 6；把这根放到前面的 6 上，6 就变成 8。于是算式成了 8 − 2 = 6。

这类题不怎么考计算，考的是肯不肯放下第一个想法。心理学家也用它研究「顿悟」：Knoblich 等人（1999）用火柴算式做了四个实验，认为人卡住时要靠改变对题目的看法才能走出来，比如放松自己默认的限制，或者把看成一个整体的东西拆开。孩子卡住时，您可以说的话就很明确：「你现在觉得哪些地方不能动？真的不能动吗？」

在家玩，不要用真火柴，用棉签或冰棍棒就行。每个数字都按电子钟的样子摆。拿在手里动，比盯着纸想要容易进入。一份汇总 55 项研究的元分析（Carbonneau 等，2013）发现，用实物教数学比只用抽象符号效果好，但效果大小差别不小，在解题和迁移上的优势比较小，要看怎么教。所以棉签要摆，摆完还要说出来刚才动了什么。

除了移动一根，还可以玩「添一根」「拿走一根」，或者用火柴摆成一排正方形，拿走几根，让它只剩下几个正方形。

这样教，孩子不怕思维题

1. 先画图，再列式。不管什么题，第一句话都是「能画出来吗？」图画对了，算式自己就出来了。
2. 数字大就换小的。20 米种树想不明白，就先想 10 米。这是波利亚在《怎样解题》里讲过的办法：先想一个更简单的同类问题。
3. 让孩子讲给你听。课程标准说的「给出合理解释」，在家就是「你为什么这样算？」您假装听不懂更好。孩子讲不清楚的地方，往往就是没想通的地方。
4. 先看一道例题也没关系。完全没见过的题型，让孩子硬想半小时只会挫败。一起走一道，再让他自己做一道相似的，再换一道变了条件的。
5. 做完回头看。验算，再问一句：「这道题和哪道题像？」模型意识就是这样来的。
6. 公式放到最后。孩子自己发现的规律，再告诉他「这就是公式」，他记得住，也用得对。
7. 一次一两道。这类题是用来想的，不是用来刷的。一道题想透，胜过十道题对答案。做错了没关系，别用分数吓孩子。

Dino Kids 里的「挑战」：29 个单元的数学思维训练

Dino Kids 的「思维数学」里有两条路线：「入门」给小一点的孩子认规律、分类和比较；「挑战」是另一张地图，放的就是小学阶段常见的思维题型，前面讲的植树问题、和差问题、年龄问题、倒推计算和火柴棒都在里面。先看几个数字：

• 29 个单元，198 节课。
• 4 989 道题和讲解页，其中讲解页 591 页。
• 题目、讲解和「怎么做」都有朗读，中文、越南语、日语、英语、韩语五种语言。

App 里不写年龄，也不写年级。单元之间不互相锁定：孩子已经会看钟表，就可以直接打开钟表那个单元；想先做植树问题，也可以直接去。只有同一个单元里，课是一节一节按顺序打开的。

29 个单元都有什么题

下面按题型大致分成六组，每个单元列出名字和一两道 App 里的原题。

一、看图、数数和整理（5 个单元）

• 图形和颜色的规律：「每个格子里的图形数量按规律变化。问号格子是哪个？」也有「涂色的部分按规律转动。下一个是哪个？」
• 排队：「这一排有10个小朋友。从右边数，有黄色光圈的小朋友排第几？」
• 数图形和线段：「图中连接两个点的线段有几条？」「图中有几个三角形？」
• 分类和韦恩图：「每个圈上的数是圈里小朋友的人数。两个圈里一共有多少个小朋友？」
• 象形统计图和表格：「每个图代表两个水果。最多的一行一共有几个水果？」

二、钟表和时间（2 个单元）

• 看钟表：「钟表上是几点？」「哪个钟表和电子钟的时间一样？」
• 时间问题：「这是玩完的时间。玩了35分钟，是几点开始的？」「有黄色光圈的点是今天。后天是星期几？」

三、动手和推理（3 个单元）

• 火柴棒游戏：「移动一根火柴，让算式成立。」「拿走两根火柴，剩下三个正方形。」
• 天平：「哪个最重？」「每种动物代表一个数。问号是几？」
• 谁选了什么：「每个小伙伴各选一样东西，谁也不一样。有问号那一行的小伙伴选了什么？」用表格一行一行排除，是最早的逻辑推理。

四、数、算式和巧算（9 个单元）

• 数列的规律：「每段弧线上写的都一样。应该写哪个？」
• 数列挑战：「照这样排下去，33是第几个数？」
• 求未知数：「每块砖上的数是下面两块的和。塔顶是几？」「天平平衡了。每个问号盒子是多少？」
• 倒推计算：「弹珠变成了两倍，朋友又给了几颗，后来丢了几颗。原来有几颗？」
• 巧算：「怎样分组算得又对又快？」「把第一个数和最后一个数配成一对。哪个算式等于整列数的和？」
• 几分之几：「全部的三分之一是图里的数。全部是多少？」
• 数的组成和整除：「空格里填哪个数字，这个数能被3整除？」
• 特别的数：「两个质数加起来等于这个数。是哪两个？」「这道乘法的积，个位上的数字是几？」
• 最大和最小：「每张卡片只能用一次。能拼出的最小三位单数是哪个？」

五、线段图和经典应用题（9 个单元）

• 植树问题：「每段楼梯有12级台阶。从下面一层走到上面一层，一共要爬多少级台阶？」「把木头砍成图上那样的几段。要砍几次？」
• 年龄问题：「上面两条是今年的年龄，下面两条是几年以后的年龄。那时姐姐比弟弟大几岁？」
• 先求一份（也就是常说的归一问题）：「每个篮子里的苹果一样多。上面一行是几个篮子的苹果数。下面一行的篮子一共有几个苹果？」
• 和差问题（后面也练和倍、差倍）：「大括号是两个数的和。大数是小数的3倍。求小数。」
• 平均数：「每一条是一个小伙伴的水果数。多的小伙伴给少的几个，两人就一样多？」
• 鸡兔同笼：「每个问号是一只鸡或一只兔，腿那一行是真正的腿数。鸡有两条腿，兔有四条腿。有几只兔？」后面还有蚂蚁和蜘蛛。
• 盈亏问题：「把胡萝卜用两种方法分给小兔，每只的份数写在左边。清楚的胡萝卜是多出的，淡的是不够的。有几只小兔？」
• 行程问题：「两个小伙伴同时从路的两头相对出发。多长时间后相遇？」「两个小伙伴同时同向出发，后面的走得更快。多长时间后追上前面的？」
• 多步应用题：「橘子比苹果多，梨又比橘子多，像图里那样。三种水果一共有几个？」

六、综合挑战（1 个单元）

最后一个单元把前面所有题型混在一起：两节综合练习，再加一场 15 道题的结业测验，题目从 252 道题的题库里抽。

这些题几乎都是看图做的：线段图、天平、钟表、韦恩图、数塔。题目里说的「大括号」「虚线」「浅色部分」，都是图上真有的东西，孩子听到哪里就看哪里。

一个单元怎么教：从看着做，到一起做，再到自己做

每个单元都按同样的顺序走，帮助一步一步减少：

1. 学一学。几页讲解，同一张图在一页一页里慢慢搭起来，最后是一两道很容易的小题。
2. 一步一步。把一道例题拆成几步。小恐龙 Dino 讲一步，然后说「轮到你啦！」，孩子就在这张搭到一半的图上，自己做刚才讲的那一步。
3. 练一练 1、2、3。三轮练习，「怎么做」按钮越来越难打开：第 1 轮一直都在；第 2 轮要先答错一次才出现；第 3 轮只有答完以后才能打开，用来回头看。
4. 小测验。Dino 先问「准备好了吗？」。每次从这个单元专属的 64 道题里抽 8 道，由易到难，优先抽还没做过的题，所以每次测验都不一样。「怎么做」只在答完以后才能打开。

跟着「和差问题」走一遍

用前面讲过的和差问题看看这个顺序在 App 里是什么样子。下面引的都是 App 里的原话。

学一学：一张线段图慢慢搭起来。一共 8 页讲解，每页在同一张图上添一点东西：

• 「这是线段图。长的一条是大数，短的一条是小数。」
• 「上面一条多出来的部分画成虚线，这就是差。」
• 「这里差是6，因为17减11等于6。」
• 「把两条括起来的是和：17加11等于28。」
• 「和差问题告诉你和与差，求两个数。」
• 「从大数里去掉差，和变成28减6等于22。」
• 「两条一样长了。22的一半是11，这就是小数。」
• 「大数是11加6等于17。验算：17加11等于28，对了！」

注意顺序：先用已经知道的 17 和 11 搭出图，再倒过来问「只知道和与差，怎么求两个数」。讲完是两道小题：「大括号是和，虚线是差。求小数。」「大括号是和，虚线是差。求大数。」

一步一步 1：Dino 讲一步，孩子做一步。

• Dino：「两个数的和是30，差是8。我们一步一步求出这两个数。」
• Dino：「第一步：去掉差。和是30减8等于22。」
• 轮到孩子：「两条一样长。一条是多少？」选项是 22、12、11。
• Dino：「第二步：小数是11。大数等于小数加上差。」
• 轮到孩子：「大数等于小数加上差。大数是多少？」
• Dino：「两个数是19和11。验算：19加11等于30，19减11等于8。」
• Dino 还会讲另一种方法：「给小数加上差，两条都和大数一样长，38除以2等于19。」
• 最后：「现在你自己试一试。」孩子独立做两道完整的题。

那道「一条是多少？」的选项里有 22，这是忘了除以 2 的孩子最容易选的数。孩子选了 22，正好说明他卡在哪一步。

一步一步 2：从和差走到和倍、差倍。「两个数的和是24，大数是小数的3倍。」Dino 讲「小数是1份，大数是这样的3份。和一共是4份」，孩子求小数，Dino 讲「一份是24除以4等于6。大数是3份：6乘3等于18」，孩子求大数。接着换成知道差：「大数比小数多2份，差就是2份。一份是12除以2等于6。」还是同一张线段图，只是把「差」换成了「份」。

再往后是三轮练一练和小测验。到这时，孩子已经在同一张图上看着做过、一起做过，现在轮到自己做。

「怎么做」：每道题都能一步一步看

每道题都有「怎么做」。打开以后，答案不是一下子跳出来，而是在题目的图上一步一步演示，屏幕上标着「第几步，共几步」，孩子点「下一步」再往下看。比如「大括号是和，虚线是差。求小数。」的「怎么做」是三步：

1. 从大数里去掉差，两条一样长。用和减去差。
2. 两条一样长，所以新的和除以2就是一条。
3. 所以小数是4。

植树问题「树和树之间有几段间隔？」的「怎么做」是：数一数图上有几段间隔；两端都有树，所以间隔比树少1段；所以答案是3。倒推计算则是：从最后的数往回走，每一步都换成相反的算法；倒回加法：加的反面是减；所以开始的数是5。

小恐龙 Dino 一直陪着

Dino 不只是装饰。讲解的时候它在对话框里说话，伸手指着图上正在讲的那一部分；该孩子动手了，它说「轮到你啦！」；孩子想题的时候，它托着下巴一起想；打开「怎么做」时，它举着一个小灯泡；答错了，它说「再试一次！」；测验前，它问「准备好了吗？」；一个单元做完，它捧着奖杯说「这一单元完成啦！」。Dino 从来不批评孩子。

火柴是真的拿起来、放下去

火柴棒游戏不是三选一。屏幕上提示「点一根火柴，把它拿起来。」，再「点一个空位，把火柴放下。」，孩子自己把算式摆对，然后按提示再读一遍算式确认。摆乱了，点「重新摆」回到开头。这和前面说的在家用棉签摆是同一个道理：手里动着，比盯着想更容易换个角度。

星星怎么给

• 先看「怎么做」再回答，这道题照样算分，最多 2 颗星。
• 答错两次，App 给一个提示；答错三次，App 打开「怎么做」一直演示到最后一步，然后让孩子往下走，这道题给 1 颗星。
• 没有零颗星，也没有红叉。卡在一道题上出不来的情况不会发生。

题目是怎么做出来的

• 题目、讲解和「怎么做」全部由 Dino Kids 团队自己编写，没有照抄任何教材、练习册或竞赛的原题。
• 每一道题的答案都由程序重新算过一遍。
• 错误选项来自孩子常犯的错：数漏一个、多数一个、少走一步就停下，就像上面那个 22。正确答案在第几个选项也做过平衡，孩子靠猜位置是猜不中的。
• 题目、讲解和「怎么做」都配了朗读，五种语言。

需要知道的

• 「挑战」的课程和朗读在服务器上，不内置在 App 里，第一次打开要联网下载。没联网时这里是空的，请先连上网络。没看到「挑战」的话，把 App 更新到最新版本就有了。
• 「挑战」和整个 App 一样免费：没有广告，没有应用内购买，不需要账号。Dino Kids 是 Digi Dinos 为社会而做的产品，不是用来赚钱的渠道。
• 它是在家练习的素材，不对应任何教材或竞赛，也不保证提高成绩。三到六岁的「入门」路线，在幼儿思维数学那篇有介绍；功能概览在数学页面。发现哪道题讲得不清楚，欢迎写信到 dinokids@digidinos.com。

参考资料

• 教育部（2022）。《义务教育数学课程标准（2022年版）》，课程目标·核心素养内涵。
• Ng, S. F., Lee, K. (2009). The model method: Singapore children's tool for representing and solving algebraic word problems. Journal for Research in Mathematics Education, 40(3), 282–313.
• Knoblich, G., Ohlsson, S., Haider, H., Rhenius, D. (1999). Constraint relaxation and chunk decomposition in insight problem solving. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 25(6), 1534–1555.
• Carbonneau, K. J., Marley, S. C., Selig, J. P. (2013). A meta-analysis of the efficacy of teaching mathematics with concrete manipulatives. Journal of Educational Psychology, 105(2), 380–400.
• Polya, G.（1945）. How to Solve It. Princeton University Press.