特殊算はいつから？ 植木算・和差算・つるかめ算の教え方と、思考力の算数29テーマ

「5メートルおきに木を5本植えました。はしからはしまで何メートルでしょう」と聞くと、「25！」と元気に答える子がいます。5×5の計算は合っています。でも答えは20メートルです。木と木の間は5つではなく4つだからです。ここで「計算はできるのに、どうして」と思った保護者の方は、もう特殊算の入り口に立っています。

この記事では、特殊算とは何か、いつから始めればいいのかを整理してから、植木算、年齢算、還元算、和差算、マッチ棒パズルを家でどう扱うかを1つずつ書きます。中学受験をする家庭にも、しない家庭にも使えるように、問題は小さな数にしました。後半では、私たちが作っている無料アプリ Dino Kids の「チャレンジ」について、29のテーマと、1つのテーマで子どもがどう導かれるかをくわしく紹介します。

特殊算とは？ 種類といつから始めるか

特殊算は、植木算、年齢算、和差算、還元算、つるかめ算のように、問題の「型」に名前をつけて学ぶ算数のことで、おもに中学受験の世界で使われてきた呼び名です。文部科学省の『小学校学習指導要領解説 算数編』を確かめましたが、「特殊算」「植木算」「和差算」といった語は出てきません。何年生で習う、という公の決まりはないということです。

ただし、中身の考え方は学校の算数とつながっています。解説では、第2学年に「はじめにリンゴが幾つかあって，５こもらったら 12 こになりました。はじめに幾つありましたか。」という逆思考の問題が例として載っていて、○の絵やテープ図で場面を表し、図と式を結びつけて考えることが書かれています。第3学年では、分からない数を□として式に表します。後で紹介する還元算や和差算の根っこは、ここにあります。

ですから「いつから」の答えは、学年より次の2つで決めるのがおすすめです。

• たし算とひき算を、指を使わずに落ち着いてできるか。計算に手いっぱいだと、場面を考える余裕が残りません。
• お話を聞いて、絵にできるか。「木が5本」と聞いて、丸を5つかければ十分です。

特殊算を公式から覚えるのは、順番が逆です。「木の数＝間の数＋1」は、自分で木を描いて数えたあとなら、覚えなくても出てきます。

植木算をわかりやすく：指の間から始める

植木算の教え方でいちばん手軽なのは、手を広げることです。「指は何本？」「5本」「指と指のすきまは？」。数えると4つ。これで冒頭の問題の半分は終わりです。

次に紙に木を描きます。はしからはしまで木があるときは、木の数は間の数より1つ多くなります。池のまわりのように丸くつながっていると、木の数と間の数は同じです。両はしに木を植えないと、木の数は間の数より1つ少なくなります。この3つは公式として覚えさせず、毎回小さな図をかいて確かめさせてください。

同じ考え方は、生活の中に見つかります。

• 丸太を切る：丸太を3つに切るには、のこぎりは何回？ 答えは2回。切り口が「間」です。
• 階段：1階から3階まで、ひとつの階が10段なら何段のぼる？ 30段と答えたくなりますが、のぼるのは2階分で20段です。

年齢算の解き方：差は変わらない

年齢算が「意味がわからない」と言われるのは、人が2人いて、時間も動くからです。ここで押さえるのは1つだけ、年の差はずっと同じということです。

姉が9歳、弟が5歳なら、差は4です。1年前も、10年後も差は4のままです。兄弟がいれば、「○○が生まれたとき、お姉ちゃんは何歳だった？」と聞いてみてください。答えが差そのものです。

慣れたら「姉の年が弟の2倍だったのは何年前？」と聞きます。2倍ということは、弟の年の分だけ姉が多いということ。その多い分は差の4です。弟が4歳、姉が8歳のときなので、1年前です。線を2本かいて、長さをくらべると見えてきます。

還元算と逆算：うしろから戻る

還元算は、「ある数に何かをしたら、こうなった」という話を、終わりから逆にたどる問題です。小学生に逆算の教え方を聞かれたら、私たちは「服を脱ぐ順番」と説明しています。靴下をはいて靴をはいたなら、脱ぐときは靴が先です。

• 一歩：ある数に4をたすと11。うしろへ戻るので、11から4をひいて7。
• 二歩：ある数を2倍して3をたすと11。最後にしたのは「3をたす」なので、先に3をひいて8。次に「2倍」を戻して2でわって4。

たす、ひく、かける、わるの「反対」が言えれば、数が大きくなっても同じ手順です。答えが出たら、前から計算して11になるかを試させてください。自分で確かめられると、親に聞かなくなります。

和差算と線分図の書き方

和差算は「2つの数の合計と差が分かっていて、それぞれを求める」問題です。たとえば、合計が28で差が6の2つの数。ここで線分図が役に立ちます。

線分図の書き方は3手順です。

1. 長い線と短い線を、左をそろえて上下にかきます。
2. 長いほうの、短い線より飛び出た部分に「6」と書きます。
3. 全体を中かっこで囲んで「28」と書きます。

飛び出た6を切り落とすと、同じ長さの線が2本で22になります。1本は11。これが小さいほうで、大きいほうは11に6をたして17です。式は (28−6)÷2 ですが、図なしでこの式だけ覚えても、問題が少し変わると使えません。

シンガポールの小学5年生151人を調べた研究（Ng と Lee、2009年）では、図を使って問題を表す方法を学んだ子が、途中までは合っていても、情報を1つ図に写しまちがえて答えを外すことがありました。答えが違うときは、やり直しを命じる前に、図のどこまで合っているかをいっしょに見てください。

マッチ棒パズルを小学生と：手で動かす

マッチ棒パズルは、計算と形の見方が同時に要るので、小学生の思考力の遊びとしてよく使われます。家では本物のマッチではなく、綿棒や爪楊枝で十分です。

数字を棒で作る問題なら、こんな形です。

• 1本たす：3＋5＝6 を正しくするには？ 6に1本足して8にします。
• 1本動かす：6＋4＝4 を正しくするには？ 6のまん中の棒を右上に動かして0にすると、0＋4＝4 です。

紙の問題と違うのは、まちがえても棒をもとに戻すだけで済むことです。消しゴムもいりません。具体物を使う学習を調べた55の研究のまとめ（Carbonneau ら、2013年）では、抽象的な記号だけで学ぶより効果があるという結果でしたが、その大きさは小さめから中くらいで、教え方によって変わるとされています。棒を持たせれば伸びるというものではなく、「どの棒を動かそうと思ったの？」と話しながら遊ぶのがよさそうです。

特殊算の教え方：親が気をつけたい3つ

見せる量を少しずつ減らす。例題の手順を全部見せたあと、最後の手順だけを空けて、次はその前も空けて、というように子どもに渡す方法です。例題と練習問題を交互に出すより学びやすかったという実験があります（Renkl ら、2002年）。「いっしょにやる」から「ひとりでやる」へ、いきなり飛ばないことです。

ときどき混ぜる。同じ型を10問続けると、型を見分けなくても解けてしまいます。中学1年生126人を3か月追った研究（Rohrer ら、2015年）では、種類を混ぜて練習した生徒は、同じ種類をまとめて練習した生徒より、1日後と30日後のテストの点が高くなりました。「今日は植木算」のあとに、たまに年齢算を1問入れるくらいで十分です。

答えより、図をほめる。「ここに木が1本足りないって気づいたんだね」のように、見つけた場所を言葉にします。計算のまちがいより、図に場面を写せたことのほうが、次の問題で使えます。

中学受験をするなら、しないなら

中学受験を考えている家庭では、低学年の算数をどうするか迷うと思います。塾のカリキュラムはそれぞれ違うので、ここで何年生から何を、とは言いません。家でできるのは、塾が始まる前に「図をかくのは楽しい」「分からないときは小さな数で試す」という習慣をつけておくことだと考えています。

受験をしない家庭でも、特殊算の中身はむだになりません。バスの座席の間隔、兄弟の年、おこづかいの合計と差は、どれも生活の話です。問題集を1冊終わらせることを目標にせず、夕食のあとに1問、親が出題して子どもが図をかく、くらいから始めてください。泣きながらやるなら、その日はやめて大丈夫です。もっと小さい子には3歳からの思考力の算数の記事を、かけ算がまだ不安なら九九の覚え方の記事をどうぞ。

無料の算数アプリ Dino Kids の「チャレンジ」

ここからは、私たちのアプリの話です。Dino Kids の「さんすう」にある「かんがえる さんすう」には、2本の道があります。「はじめよう」と「チャレンジ」です。「チャレンジ」には専用の地図があり、小学校の思考力の算数や、中学受験の算数でおなじみの型を、29のテーマにまとめました。29テーマとも、いまアプリに入っています。

数で書くと、次のとおりです。

• 29のテーマ、198のレッスン。
• 問題と説明のページは、あわせて4,989（そのうち説明のページが591）。
• 問題文、説明、「やりかた」は、日本語、ベトナム語、英語、韓国語、中国語の5つの言葉で読み上げます。

画面に年齢や学年は出しません。テーマどうしにかぎはなく、時計がもう読める子なら「とけいを よもう」に直接入ってかまいません。1つのテーマの中では、レッスンが順に開いていきます。

29のテーマと問題の例

テーマを6つのまとまりに分けて、それぞれ実際の問題文をひとつずつ書きます。問題は絵と組み合わせて出るので、文だけでは分かりにくいものには説明を足しました。かっこの中は、中学受験の算数でよく使われる呼び名です。

形と決まり、図や表を読む

• かたちと いろの きまり：「はこの なかの かずが きまりどおりに かわるよ。はてなの はこは どれ？」
• ならんで なんばんめ：「ぜんぶで じゅうにん ならんで いるよ。みぎから かぞえて、きいろく ひかる こは なんばんめ？」
• かたちと せんを かぞえよう（図形の数え上げ）：「さんかくは いくつ ある？」
• なかまわけ（ベン図）：「わの うえの かずは、その わの なかに いる こどもの かずだよ。ふたつの わに こどもは ぜんぶで なんにん？」
• えの グラフと ひょう：「えが ひとつで くだもの ふたつ ぶん。いちばん おおい ぎょうの くだものは ぜんぶで いくつ？」

時計と時間

• とけいを よもう：「デジタルどけいと おなじ じこくの とけいは どれ？」
• じかんの もんだい：「あそび おわった ときの とけいだよ。さんじゅうごふん あそんだなら、はじめたのは なんじ？」。カレンダーで「あさっては なんようび？」と聞く問題もあります。

数の決まりと計算のくふう

• かずの ならびの きまり：「どの ゆみがたにも おなじ けいさんが はいるよ。どれかな？」（数の並びの間に「たす 2」のような矢印が入ります）
• かずの ならび チャレンジ（数列）：「この まま つづくと、33は なんばんめ？」
• くふうして けいさん：「はじめと おわりの かずを くみに しよう。ぜんぶ たした こたえに なる しきは どれ？」（同じ間隔で並んだ数の和を、はじめと終わりの組にして求めます）
• かずの しくみと わりきれる かず（位取り・倍数）：「あいて いる ところに どの すうじを いれると 3で わりきれる？」
• とくべつな かず（平方数・素数）：「そすうを ふたつ たすと この かずに なるよ。どの ふたつ？」
• いちばん おおきい かず、ちいさい かず（数字カード）：「よんまいの カードで ふたけたの かずを ふたつ つくろう。たした こたえが いちばん おおきいのは いくつ？」
• ぶんすう：「ぜんぶの さんぶんの いちが えの かずだよ。ぜんぶで いくつ？」

式とパズルで考える

• マッチぼう パズル：「マッチぼうを いっぽん うごかして ただしい しきに しよう。」「マッチぼうを にほん とって、ましかくを さんこに しよう。」
• てんびん：「どうぶつは それぞれ ひとつの かずだよ。はてなは いくつ？」（つりあったてんびんから、動物1ぴきの重さを考えます）
• わからない かずを みつけよう（□を使った式）：「うえの ますは したの ふたつを たした かず。いちばん したの はてなは いくつ？」
• うしろから けいさん（還元算）：「ビーだまが にばいに なって、ともだちが いくつか くれて、いくつか おとしたよ。はじめは いくつ？」
• だれが どれ？（推理）：「みんな ひとつずつ、ちがう ものを えらんだよ。はてなの ある れつの ものは だれが えらんだ？」（表に印をつけて消していきます）

線分図と文章題

• きを うえよう（植木算）：「かいだん ひとつは 12だん。したの かいから うえの かいまで、ぜんぶで なんだん のぼる？」
• としの もんだい（年齢算）：「おおきな かっこは おかあさんと こどもの としを あわせた かず。おかあさんは こどもより てんせんの ぶんだけ うえ。おかあさんは なんさい？」
• ひとつぶんを もとめる（帰一算）：「どの はこにも クッキーが おなじ かずずつ。ひとはこに なんまい？」
• あわせた かずと ちがい（和差算・倍数算）：「おおきな かっこは ふたつの かずを あわせた かず。おおきい かずは ちいさい かずの さんばい。ちいさい かずを みつけよう。」
• へいきん（平均算）：「どの おびも ひとりの くだものの かず。おおい こが すくない こに いくつ あげると、ふたりが おなじに なる？」
• にわとりと うさぎ（つるかめ算）：「はてなは ありか くも。ありは あしが ろっぽん、くもは はっぽん。くもは なんびき？」
• あまりと たりない（過不足算）：「バナナを さるに ふたとおりに わけるよ、ひとりぶんは ひだりの かず。はっきりした バナナは あまり、うすい バナナは たりない ぶん。さるは なんびき？」
• はやさと みちのり（速さ・旅人算）：「ふたりが どうじに おなじ むきに すすむよ。うしろの こが はやいよ。どのくらいで おいつく？」
• なんかいかで とく もんだい（2段階・3段階の文章題）：「みかんは りんごの さんばいだよ。りんごと みかんは あわせて いくつ？」

まとめ

• まとめの ちょうせん：これまでのテーマが混ざって出ます。まとめのレッスンが2つと、最後のテストが1つ。最後のテストは15問で、252問の中から選ばれます。前の節の「ときどき混ぜる」を、ここで形にしました。

1つのテーマの進み方：「あわせた かずと ちがい」の場合

どのテーマも、「見て」「いっしょに」「ひとりで」の順に、手助けを少しずつ減らしていきます。前の節で書いた「見せる量を少しずつ減らす」と同じ考え方です。和差算にあたる「あわせた かずと ちがい」で、最初の3つのレッスンを順に追ってみます。

最初のレッスン：説明のページ

Dino がふきだしで話しながら、1枚の線分図をページごとに少しずつ描き足していきます。説明は8ページです。

1. 「これは ぼうの ずだよ。ながい ぼうは おおきい かず、みじかい ぼうは ちいさい かず。」
2. 「うえの ぼうの ながい ぶんは てんせん。それが ちがい だよ。」
3. 「ここでは ちがいは 6。17から 11を ひくと 6だね。」
4. 「にほんを まとめた かっこは あわせた かず。17と 11で 28。」
5. 「この もんだいでは、あわせた かずと ちがいから ふたつの かずを みつけるよ。」
6. 「おおきい かずから ちがいを とる。あわせた かずは 28から 6を ひいて 22。」
7. 「にほんは おなじ ながさ。22を はんぶんに すると 11、それが ちいさい かず。」
8. 「おおきい かずは 11に 6を たして 17。17と 11で 28、ぴったり！」

この記事の前半で書いた線分図の3手順と、飛び出た部分を切り落とす考え方が、そのまま1枚の図の上で進みます。最後に、同じ形のやさしい問題が2問出ます。

2つめのレッスン：「ひとつずつ」

1つの解き方を手順に切り、Dino が1手順話すごとに、子どもがその手順だけを自分でやります。数は「あわせた かずは 30、ちがいは 8」です。

1. Dino：「まずは ちがいを とる。あわせた かずは 30から 8を ひいて 22。」
2. 子ども：「にほんの ぼうは おなじ ながさ。いっぽんは いくつ？」。選択肢は 22、12、11。
3. Dino：「つぎに ちいさい かずは 11。おおきい かずは 11に ちがいを たした かず。」
4. 子ども：「おおきい かずは ちいさい かずに ちがいを たした かず。おおきい かずは いくつ？」。選択肢は 19、11、3。
5. Dino：「ふたつの かずは 19と 11。19と 11で 30、ちがいは 8。ぴったり！」

まちがいの選択肢は、子どもがよくするまちがいから作っています。最初の問いの22は「半分にするのを忘れて1歩手前で止まった」答え、次の問いの11は「小さいほうをそのまま答えた」答えです。続いて Dino は別の解き方も見せます。「ちいさい かずに ちがいを たしても いい。にほんとも おおきい かずで、38の はんぶんで 19。」。そして「こんどは ひとりで やってみよう。」のあと、途中の手助けなしで2問を解きます。

3つめのレッスン：「ひとつずつ」2

同じ線分図で、和と倍、差と倍の問題に広げます。「あわせた かずは 24。おおきい かずは ちいさい かずの さんばい。」「ちいさい かずは ひとつぶん、おおきい かずは みっつぶん。あわせて よっつぶん。」と、「ひとつぶん」という考え方が出てきます。後半は「ちがいは 12、おおきい かずは ちいさい かずの さんばい。」「おおきい かずは ふたつぶん おおい。ちがいは ふたつぶんで、ひとつぶんは 12を 2で わって 6。」と、差から1つ分を求めます。

そのあと：「れんしゅう」1・2・3と「テスト」

• 「れんしゅう」：自分で解きます。「やりかた」ボタンは、れんしゅう 1 ではいつでも出ています。れんしゅう 2 では1回まちがえると出てきます。れんしゅう 3 では、答えたあとに見直すためにだけ開きます。
• 「テスト」：「じゅんび できた？」のあとに8問。テーマごとの64問の中から、だんだんむずかしくなるように選び、まだ解いていない問題を先に出します。受けるたびに別の組み合わせになります。「やりかた」は答えたあとにだけ開きます。

「やりかた」の例：植木算

「やりかた」は、答えの書いた紙ではなく、図の上で1手順ずつ進む解き方です。「つぎ」を押すたびに次の手順に進みます。冒頭の植木算にあたる「きを うえよう」の問題、「きと きの あいだは いくつ ある？」では、こう進みます。

1. 「えの あいだの かずを かぞえよう。」
2. 「りょうはしに きが あるから、あいだは きより ひとつ すくないよ。」
3. 「だから こたえは 3だよ。」

このテーマの説明のページでも、「みちには あいだが よっつ。ひとつ 5メートルだよ。」「めもりごとに いっぽんずつ、りょうはしにも きを うえたよ。」「きは 5ほんで、あいだは よっつ。きの ほうが いっぽん おおいね。」と、手を広げて指のすきまを数えるのと同じことを、図の上でやります。

Dino がとなりにいる

恐竜の Dino は、テーマの最初から最後までいっしょです。

• 説明はふきだしで話し、図の中の場所を指さします。
• 子どもの番になると「こんどは きみの ばん！」と声をかけます。
• 子どもが考えているあいだは、ほおづえをついていっしょに考えます。
• 「やりかた」を開くと、電球を持って出てきます。
• まちがえたときは「もう いちど やってみよう！」。
• テストの前は「じゅんび できた？」。
• テーマを終えると、トロフィーと「ぜんぶ できたね！」。

責める言葉は、どこにもありません。

マッチ棒は自分の指で動かす

「マッチぼう パズル」で棒を動かす問題は、答えを選ぶ形にしていません。「ぼうを タッチして もちあげよう。」「あいている ところを タッチして ぼうを おこう。」と、自分で棒を持ち上げて置きます。うまくいかなければ「やりなおす」で最初の形に戻せます。家で綿棒を動かすときと同じで、何度でも試してやめられます。

星のつけ方

• 答える前に「やりかた」を見ても、その問題は採点されます。星は最大2つになります。
• 2回まちがえると、ヒントが出ます。3回まちがえると「やりかた」が最後の手順まで開き、星1つで次へ進みます。
• 星が0になることはありません。

問題の作り方

• 答えはすべて、プログラムで計算し直して確かめています。
• まちがいの選択肢は、子どもがよくするまちがい（1つ数え落とす、1つ多く数える、1歩手前で止まる、など）から作っています。
• 正解の位置もかたよらないようにしているので、「いつも2番め」のような当て方は通じません。
• 問題、問題文、説明は、すべて Dino Kids のチームが自分たちで作ったものです。問題集や入試問題を写したものではありません。

かずと「かんがえる さんすう」の紹介ページにほかのレッスンもまとめています。

知っておきたいこと

• 「チャレンジ」のレッスンはアプリの中に最初から入っていません。はじめて使うときに通信で取り込むので、最初は通信のある場所で開いてください。読み上げの声も同じです。
• 29テーマに入っていない型（仕事算、ニュートン算、流水算、図形の面積など）は、まだありません。練習したいときは、問題集を併用してください。
• アプリは塾の代わりにはなりません。中学受験の合格や成績を約束するものでもありません。
• 「チャレンジ」はアプリ全体と同じく無料です。広告もアプリ内課金もなく、アカウントなしで使えます。Dino Kids は Digi Dinos が社会のためにつくっている製品で、収益のためのものではありません。
• 見当たらないときは、アプリを最新の版にアップデートしてください。

参考文献

• 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」。
• Ng, S. F., Lee, K. (2009). The model method: Singapore children's tool for representing and solving algebraic word problems. Journal for Research in Mathematics Education, 40(3), 282–313.
• Carbonneau, K. J., Marley, S. C., Selig, J. P. (2013). A meta-analysis of the efficacy of teaching mathematics with concrete manipulatives. Journal of Educational Psychology, 105(2), 380–400.
• Renkl, A., Atkinson, R. K., Maier, U. H., Staley, R. (2002). From example study to problem solving: Smooth transitions help learning. The Journal of Experimental Education, 70(4), 293–315.
• Rohrer, D., Dedrick, R. F., Stershic, S. (2015). Interleaved practice improves mathematics learning. Journal of Educational Psychology, 107(3), 900–908.